Les théorèmes d’incomplétude de Gödel sont deux théorèmes célèbres de logique mathématique, démontrés par Kurt Gödel en 1931 dans son article Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme (Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés).
Ces théorèmes ont trait aux mathématiques. Dit de façon certes approximative, le premier énonce essentiellement qu’une théorie suffisante pour faire de l’arithmétique est nécessairement incomplète, au sens où il existe dans cette théorie des énoncés qui ne sont pas démontrables et dont la négation n’est pas non plus démontrable : c’est-à-dire qu’il existe des énoncés que l’on ne pourra jamais déterminer tant que l’on reste dans le cadre de la théorie. Sous le même genre d’hypothèses sur les théories considérées, le second théorème affirme qu’il existe un énoncé exprimant la cohérence de la théorie - le fait qu’elle ne permette pas de tout démontrer et donc n’importe quoi - et que cet énoncé ne peut pas être démontré dans la théorie elle-même. À cause des hypothèses des théorèmes, toute théorie qui prétend formaliser l’ensemble des mathématiques, comme la théorie des ensembles, est concernée. Faut-il pour autant renoncer à ce qu’un discours mathématique ait une valeur de vérité universelle ? Sur quoi se fonder pour savoir s’il est cohérent, puisqu’il semble que l’on ne puisse y arriver par des moyens purement internes aux mathématiques ? Les théorèmes de Gödel ne donnent pas de réponse mais permettent d’écarter celles qui sont trop simples. Il faut déjà noter que ces deux limitations (énoncés dont la vérité est inaccessible, cohérence du discours) sont seulement relatives.